+
    i+                     *   ^ RI Ht ^ RIHtHtHtHt ^ RIHt ^ RI	H
t
 ^ RIHtHt ^ RIHt ^ RIHt ^ RIHt ^ R	IHt ^ R
IHt ^ RIHt ^ RIHt ^ RIHt ^ RIHt ^ RI H!t! ^ RI"H#t#H$t$ ^ RIH%t% ^ RI&H't' ^ RI(H)t) ^ RI*H+t+H,t,H-t-H.t.H/t/H0t0H1t1H2t2H3t3H4t4H5t5 ^ RI6H7t7H8t8H9t9H:t:H;t;H<t<H=t=H>t>H?t?H@t@HAtAHBtB ^ RICHDtDHEtEHFtFHGtG ^ RIHHItI ^ RIJHKtK ]
! R4      tLR tMR tNR tO]DR 4       tPR tQR tR]ER  4       tSR! tTR" tUR# tVR$ tWR% tXR& tYR' tZR( t[R) t\R* t]R+ t^R,# )-    )Sum)IRationaloopiS)Symbol)imre)log)floor)sqrt)	Piecewise)besseli)beta)zeta)	FiniteSet)simplify)lambdify)EqNe)exp)Or)Range)PEvariancedensitycharacteristic_functionwheremoment_generating_functionskewnesscdfkurtosis
coskewness)PoissonDistributionGeometricDistributionFlorySchulzPoisson	GeometricHermiteLogarithmicNegativeBinomialSkellam	YuleSimonZeta
DiscreteRV)slownocache_failraisesskip)Expectation)FallingFactorialxc                     ^p \        V 4      p\        VP                  ^
4      P                  4       ^,
          4      R8  g   Q h\        VP                  R4      P                  4       ^,
          4      R8  g   Q hVP	                  \
        \
        4      V 8X  g   Q hVP	                  \
        ^,          \
        4      VP	                  \
        \
        4      ^,          ,
          V 8X  g   Q hR# )   MbP?g$@N)r'   absr$   evalfexpectationr9   )lps     `/var/www/html/photoedit/myenv/lib/python3.14/site-packages/sympy/stats/tests/test_discrete_rv.pytest_PoissonDistributionrC   "   s    	AAAquuRy 1$%,,,quuT{  "Q&'$...==A!###==Aq!AMM!Q$7$::a???    c                     ^p \        RV 4      p\        V4      V 8X  g   Q h\        ^V,          4      ^V ,          8X  g   Q h\        V4      V 8X  g   Q h\        V4      \	        V 4      8X  g   Q h\        \        VRR7      \        4      '       g   Q h\        \        ^V,          RR7      \        4      '       g   Q hVP                  P                  ^4      ^8X  g   Q h ^ RI	p\        RXP                  R4      4      p\        V4      R8X  g   Q h\        RVP                  R4      4      p\        V4      R8X  g   Q h^p\        R	V4      p\        V4      V8X  g   Q h\        \        V^4      4      V^,          8X  g   Q h\        V^,          4      WD^,          ,           8X  g   Q hR#   \         d    \        R4        Li ; i)
r;   r9   FevaluateNznumpy not installedygKPh;x=gUPh;x=z)r*   r   r   r   r'   
isinstancer7   pspacecompute_expectationnumpyImportErrorr6   float64r8   )r@   r9   nprH   l2rI   s         rB   test_PoissonrR   +   s   	AQAQ4199QqS6QqS==A;!1:,Q////aE*K8888a!e,k::::88''*a///$ 	RZZ 456AQ4''''RZZ 567AQ4((((	
BRAQ42::a#$A---QT7bq5j     $"#$s   F' 'G ?G c                     \        R 4      p \        R4      p\        RV 4      p\        V4      ^V ,
          V ,          8X  g   Q h\        V4      ^^V ,
          ,          V ^,          ,          ,
          P	                  4       \        ^ 4      8X  g   Q h\        V4      ! V4      V ^,          V,          ^V ,
          V^,
          ,          ,          8X  g   Q hR# )arI   r9   N)r
   r)   r   r   r   r	   r   )rT   rI   r9   s      rB   test_FlorySchulzrU   F   s    sAsACAQ4AE19QK!QU)AqD.(224!<<<1:a=AqDFAEQU#33333rD   c                     \         P                  ^,          p \        V 4      pVP                  \        \        4      ^V ,          8X  g   Q hVP                  \        ^,          \        4      VP                  \        \        4      ^,          ,
          ^V ,
          V ^,          ,          8X  g   Q h\        VP                  R4      P                  4       ^,
          4      R8  g   Q h\        VP                  R4      P                  4       ^,
          4      R8  g   Q h\        R\        ^4      ^,          R7      p\        V4      ! \        ^4      ^,          4      \        V\        ^4      ^,          8*  4      8X  g   Q h\        R\        ^^4      4      p\        R\        ^^
4      4      p\        W3V,           V^V,          ,           4      P                  4       \        ^4      \        ^QR4      ,          8X  g   Q hR	# )
   i N  r<   g33333@G)rA   XYi~  N)r	   Oner(   r?   r9   r=   r$   r>   r+   r   r   r&   r   r   )rA   drX   rY   rZ   s        rB   test_GeometricDistributionr]   O   sf   		Aa A==A!A#%%%==Aq!AMM!Q$7$::qsAqDjHHHquuU|!!#a'(4///quuW~##%)*T111#1a Aq6!A$q&>QqAaDF{^+++#x1~&A#x2'AaQAaC(113tCy"dAS7SSSSrD   c            	      <  aa \        R RR7      o\        RRR7      o\        \        VV3R l4       \        R RR7      o\        RRR7      o\        \        VV3R l4       \        R RR7      o\        R4      p \        RSS4      p\	        V4      ! V 4      \        S\        V 4      ^,
          ,          S\        ^V ,          4      ^,
          ,          ,           4      8X  g   Q h\        V4      ! V 4      \        S\        \        V ,          4      ^,
          ,          S\        ^\        ,          V ,          4      ^,
          ,          ,           4      8X  g   Q h\        V4      S^S,          ,           8X  g   Q h\        R^^R	7      p\        V4      ! ^4      ^!\        R4      ,          ^,          8X  g   Q h\        V4      ^8X  g   Q h\        V4      ^8X  g   Q h\        V4      \        R
^4      8X  g   Q h\        V4      ^%\        ^4      ,          R,          8X  g   Q hR# )a1T)positivea2)negativec                     < \        R S S4      # Hr,   r_   ra   s   rB   <lambda>test_Hermite.<locals>.<lambda>b       wsB3rD   c                     < \        R S S4      # rd   rf   rg   s   rB   rh   ri   f   rj   rD   r9   re   rg   i  i  Ni)r
   r5   
ValueErrorr,   r"   r   r    r   r   r   r   r%   r   r#   r   )r9   re   r_   ra   s     @@rB   test_Hermiterm   _   s   	t	$B	t	$B
:34	t	$B	t	$B
:34	t	$BsARA%a(+s2s1vz?.0#ac(Q,.?4@ 0A A A A"1%a(CC!HqL0A.0#ac!e*q..A1B -C C C CQ42"9a A1:a=Bs2wJqL(((Q42::A;"A;(3s++++A;"T"X+c/)))rD   c                     \         P                  p \        R V 4      p\        V4      V ) ^V ,
          \	        ^V ,
          4      ,          ,          8X  g   Q h\        V4      R\	        ^4      ^,          ,          ^\	        ^4      ,          ,           8X  g   Q h\        ^V^,          ,          ^V,          ,           ^,           4      ^^\	        ^4      ,          ,           8X  g   Q h\        \        VRR7      \        4      '       g   Q hR# )r9   FrF   N)r	   Halfr-   r   r   r   rJ   r7   )rA   r9   s     rB   test_Logarithmicrq   x   s    	ACAQ4A2!a%3q1u:-....A;"SVQY,3q61111Qq!tVac\A!a#a&j.000aE*K8888rD   c                  "   ^p \         P                  ^,          p\        RW4      p\        V4      V ^V,
          ,          V,          8X  g   Q h\	        V4      V ^V,
          ,          V^,          ,          8X  g   Q h\        V^,          ^V,          ,           ^,           4      \        V^,          4      ^\        V4      ,          ,           ^,           u;8X  d   \        R^4      8X  g   Q h Q h\        \        VRR7      \        4      '       g   Q hR# )rW   r9   i9' FrF   N)r	   r[   r.   r   r   r   rJ   r7   )rrA   r9   s      rB   test_negative_binomialrt      s    	A		Aa#AQ41A;?"""A;!q1u+1,,,,QTAaCZ!^!Q$!AaD& 01 4K8KKKKKKaE*K8888rD   c            
      l   \        R 4      p \        R4      p\        R4      p\        RW4      p\        V4      ! V4      W,          V^,          ,          \        V ) V,
          4      ,          \	        V^\        W,          4      ,          4      ,          8X  g   Q h\        V4      P                  4       W \        W,           4      ,          V\        W,           4      ,          ,           ,          W\        W,           4      ,          V\        W,           4      ,          ,           ,          ,
          8X  g   Q h\        V4      P                  4       W,           8X  g   Q h\        V4      W,
          8X  g   Q h\        V4      ! V4      \        V \        \        V,          4      ,          V ,
          V,
          V\        \        ) V,          4      ,          ,           4      8X  g   Q h\        V4      ! V4      \        V \        V4      ,          V ,
          V,
          V\        V) 4      ,          ,           4      8X  g   Q hR# )mu1mu2rI   r9   N)r
   r/   r   r   r   r   r#   expandr   r   r    r   r"   )rv   rw   rI   rY   s       rB   test_skellamry      s   
-C
-CsASA1:a=SW!,SD3J1T#']?34 4 4 4A;3DO(;cSY?  )  $!#&DO(;c$sy/>Q(Q#R$S S S SA;39,,,Q439"1%a(CC!HsS 3sA2a4y=0-2 2 2 2%a(+sCF
S3S!W,0. . . .rD   c                     ^ RI Hp  V ! ^4      p\        RV4      p\        \	        V4      4      W^,
          ,          8X  g   Q h\        \        V4      4      V^,          V^,
          ^,          V^,
          ,          ,          8X  g   Q h\        \	        VRR7      \        4      '       g   Q h\        V4      ! V4      \        \        \        V4      ^4      ) \        V4      ,          ^,           V^8  3R4      8X  g   Q hR# )r   r   r9   FrF   N)r   T)sympy.core.singletonr	   r0   r   r   r   rJ   r7   r$   r   r   r   )r	   rhor9   s      rB   test_yule_simonr}      s    &
A$C#sAAaD>S!G_,,,HQK CFsQwlcAg.F$GGGGaE*K8888q6!9	Dq1$5#5eAh#>#BAF"KYWWWWrD   c                  x   \        ^4      p \        RV 4      p\        V4      \        V ^,
          4      \        V 4      ,          8X  g   Q h\	        \        V4      4      \        V 4      \        V ^,
          4      ,          \        V ^,
          4      ^,          ,
          \        V 4      ^,          ,          8X  g   Q hR# )rW   r9   N)r	   r1   r   r   r   r   )sr9   s     rB   	test_zetar      s    	!AS!AQ44!9tAw&&&&HQK Q$qs)d1Q3il*d1gqj%9 9 9 9rD   c            	      J   \        R \        ^^4      4      p \        R^4      p\        R\        4      p\	        \        V ^4      4      \        ^^}4      8X  g   Q h\	        V ^8  4      \        ^	^4      8X  g   Q h\	        V ^8  4      \        ^@^}4      8X  g   Q h\	        V ^8  4      \        ^^4      8X  g   Q h\	        V ^8*  4      \        ^=^}4      8X  g   Q h\	        \        V ^4      4      \        ^m^}4      8X  g   Q h\	        \        V^4      4      ^ \        R4      ,          ^,          8X  g   Q h\	        V^8  4      ^\        R4      ,          8X  g   Q h\	        V^8  4      P                  ^ \        R^ 4      ^\        ^4      ,          ^ ,          ,           ,          \        R4      ,          ^,          4      '       g   Q h\	        V^8  4      P                  ^ \        R^ 4      ^\        ^4      ,          ^ ,          ,           ,          \        R4      ,          ^,          4      '       g   Q h\	        V^8*  4      ^G\        R4      ,          ^,          8X  g   Q h\	        \        V^4      4      P                  ^\        R4      ,          ^ \        R^ 4      ^\        ^4      ,          ^ ,          ,           ,          \        R4      ,          ^,          ,           4      '       g   Q h\	        V \        P                  8  4      \        P                  J g   Q h\	        V \        P                  8  4      \        P                  J g   Q h\	        V^8  4      \        ^\        ,
          ,          8X  g   Q h\	        \        V^4      4      \        \        ) ^,           ^,          ,          8X  g   Q hR# )rY   rZ   eNii)r+   r   r*   r9   r   r   r   r   equalsr	   Infinityr[   Zero)rY   rZ   rX   s      rB   test_discrete_probabilityr      s   #x1~&AQA#qAR1X;(2s++++QU8x2&&&QU8xC((((Q!V9R((((Q!V9S))))R1X;(3,,,,R1X;"SW*Q,&&&QU8r#b'z!!!QU8??2xR01SV8B;>?BGIJJJJQ!V9Bb 1Ac!fHRK ?@RHJKKKKQ!V93r7
1$$$R1X;
3r7
R#r*Qs1vXb[89#b'A!CCE E E EQ^%%%Q^&&&QU8q!A#wR1X;!aR!VaK-'''rD   c            	        a \        ^4      ^,          p \        RRRR7      oV ^V ,
          S^,
          ,          ,          p\        SV\         P                  RR7      p\	        V4      \	        \        R\        ^4      ^,          4      4      u;8X  d	   ^8X  g   Q h Q h\        V^8  4      \        ^4      ^,          8X  g   Q hVP                  P                  P                  \         P                  8X  g   Q h\        \        V3R l4       \        S^S,          \         P                  4      p\        V^8  4      ^8X  g   Q h\	        V4      \        8X  g   Q hR# )   r9   T)integerr`   )setcheckrX   c            	      B   < \        S S \        \        ^4      !  RR7      # )   T)r   )r2   r   range)r9   s   rB   rh   !test_DiscreteRV.<locals>.<lambda>   s    z!Q	580DDQrD   N)r	   r
   r2   Naturalsr   r+   r   rK   domainr   r5   rl   r   )rA   pdfDrY   r9   s       @rB   test_DiscreteRVr      s    	!QAsD40A
QUa!e
C1cqzz6AQ41YsAaDF+,111111QU8qtAv88??!**,,,
:QR 	1ac1::&AQU8q==Q42::rD   c            
        a ^ RI oV3R lp V ! \        R\        ^^4      4      ^SP                  4       V ! \	        R\        ^^4      4      ^SP                  4       V ! \        R^\        ^^4      4      ^ SP                  4       V ! \        R^4      ^ SP                  4       V ! \        R^4      ^SP                  4       V ! \        R^4      ^SP                  4       R# )	r   Nc                   <aaa \        V 4      p\        R 4      p\        R4      p\        V.\        V 4      ! V4      R4      p\        WT.V! V4      \	        \
        V,          V,          4      ,          R4      oVVVV3R lpR Fi  pV! V4      p	V! V4      p
\        \        V	4      \        V
4      ,
          4      R8  g   Q h\        \        V	4      \        V
4      ,
          4      R8  d   Ki  Q h	  R# )tr9   mpmathc                 <   <a  SP                  VV 3R  lSS.^
R7      # )c                    < S! V S4      # )N )r9   fr   s   &rB   rh   ^test_precomputed_characteristic_functions.<locals>.test_cf.<locals>.<lambda>.<locals>.<lambda>   s    a1grD   )	maxdegree)nsum)r   r   r   support_lower_limitsupport_upper_limits   frB   rh   Ltest_precomputed_characteristic_functions.<locals>.test_cf.<locals>.<lambda>   s%    $5!486AC $ ErD   g-q=N)   rW         )	r   r	   r   r    r   r   r=   r   r   )distr   r   r   r   r9   cf1cf2
test_pointn1n2r   r   s   &ff        @rB   test_cf:test_precomputed_characteristic_functions.<locals>.test_cf   s    dmcFcF s3D9!<hG aVSVC!AJ.9E (JZBZBr"v2'%///r"v2'%/// (rD   gr@   nrA   rH   rI   )	r   r+   r   infr-   r.   r*   r0   r1   )r   r   s    @rB   )test_precomputed_characteristic_functionsr      s    0* Ic8Aq>*Avzz:KXa^,a<S!Xa^4aDGCOQ

+Ic1q&**-DaL!VZZ(rD   c            
      H   \        R 4      p \        \        R\         P                  4      4      ! V 4      pVP	                  V 4      P                  V ^ 4      ^8X  g   Q h\        \        R\         P                  4      4      ! V 4      pVP	                  V 4      P                  V ^ 4      ^\        ^4      ,          8X  g   Q h\        \        R^\        ^^4      4      4      ! V 4      pVP	                  V 4      P                  V ^ 4      \        ^
^4      8X  g   Q h\        \        R^4      4      ! V 4      pVP	                  V 4      P                  V ^ 4      ^8X  g   Q h\        \        R^^4      4      ! V 4      pVP	                  V 4      P                  V ^4      \        R	4      ) \        ^4      ,           \        R	\        R	4      ,           \        ^4      ,           4      ,          8X  g   Q h\        \        R^4      4      ! V 4      p\        VP	                  V 4      P                  V ^ 4      4      \        ^^4      8X  g   Q h\        \        R^4      4      ! V 4      pVP	                  V 4      P                  V ^ 4      \         ^,          ^Z\#        ^4      ,          ,          8X  g   Q hR# )
r   r   r@   r   rA   r   rH   rI   N)r	   r"   r+   rp   diffsubsr-   r   r.   r   r*   r/   r   r0   r   r1   r   r   )r   geometric_mgflogarithmic_mgfnegative_binomial_mgfpoisson_mgfskellam_mgfyule_simon_mgfzeta_mgfs           rB    test_moment_generating_functionsr      s'   	#A.yaff/EFqIMa %%a+q0000S!&&1IJ1MO"''1-3q69996a!Q02235 %%a(--a3xAFFF,WS!_=a@KA##Aq)Q...,WS!Q-?@CKA##	1r7(SV#Sc"gA)>%??@ @ @ 0	#q0AB1ENN''*//156(1a.HHH)$sA,7:H==  A&"a%DG*<<<<rD   c                  2   \        R \        P                  4      p \        \	        V ^8  V ^8  4      4      \        ^^4      8X  g   Q h\        \	        V ^8  V ^8  4      4      \        V ^8  4      8X  g   Q h\        \	        V ^8  V ^8  4      4      ^8X  g   Q hR# )rY   N)r+   r	   rp   r   r   r   )rY   s    rB   test_Orr     s    #qvvARAq1u(2r"2222RAq1u!AE(***RQA1$$$rD   c                  
   \        R \        ^^4      4      p \        R^4      p\        V ^,          ^8  4      P                  \        ^\        P                  ^4      8X  g   Q h\        V ^,          ^8  4      P                  \        ^\        P                  ^4      8X  g   Q h\        V^,          ^	8  4      P                  \        ^ ^^4      8X  g   Q h\        V^,          ^	8*  4      P                  \        ^ ^^4      8X  g   Q hR# )rY   rZ   N)r+   r   r*   r!   r   r   r	   r   rY   rZ   s     rB   
test_wherer     s    #x1~&AQAA?%1::q"9999A5AJJ#::::A?%1a.000A5Aq>111rD   c                  0   \        R \        ^^4      4      p \        R^4      p\        V ^8  V ^8  4      ^8X  g   Q h\        V ^8  V ^8  4      \        ^^4      8X  g   Q h\        V^8  V^8  4      ^ 8X  g   Q h\        \	        V^4      V^ 8  4      ^	\        R4      ,          ^,          8X  g   Q h\        \	        V^4      \	        V^4      4      ^ 8X  g   Q h\        V ^8  \	        V ^4      4      ^ 8X  g   Q h\        V ^8  \	        V ^4      4      ^8X  g   Q hR# )rY   rZ   N)r+   r   r*   r   r   r   r   s     rB   test_conditionalr   $  s   #x1~&AQAQUAE?aQUAE?hq!n,,,QUAE?aR1XqAv!CG)A+---R1Xr!Qx A%%%QUBq!H"""QUBq!H"""rD   c                     \        R \        P                  4      p \        R\        ^^4      4      p\	        \        W,           ^8  4      P                  \        4      4      R8X  g   Q h\	        \        W,           ^8  4      P                  \        4      4      R8X  g   Q h\        \        W,           ^4      4      \        ^^4      8X  g   Q hR# )X1X2z@Sum(Piecewise((1/(4*2**n), n >= -1), (0, True)), (n, -oo, -1))/3zdSum(Piecewise((2**(X2 - n - 2)*(2/3)**(X2 - 1)/6, X2 - n <= 2), (0, True)), (X2, 1, oo), (n, 1, oo))N)	r+   r	   rp   r   strr   rewriter   r   )r   r   s     rB   test_product_spacesr   0  s    	4	 B	4!Q	(Bq1~%%c*+JL L Lq1~%%c*+	=> > > R^B///rD   N)_sympy.concrete.summationsr   sympy.core.numbersr   r   r   r   r{   r	   sympy.core.symbolr
   $sympy.functions.elementary.complexesr   r   &sympy.functions.elementary.exponentialr   #sympy.functions.elementary.integersr   (sympy.functions.elementary.miscellaneousr   $sympy.functions.elementary.piecewiser   sympy.functions.special.besselr   &sympy.functions.special.beta_functionsr   &sympy.functions.special.zeta_functionsr   sympy.sets.setsr   sympy.simplify.simplifyr   sympy.utilities.lambdifyr   sympy.core.relationalr   r   r   sympy.logic.boolalgr   sympy.sets.fancysetsr   sympy.statsr   r   r   r   r    r!   r"   r#   r$   r%   r&   sympy.stats.drv_typesr'   r(   r)   r*   r+   r,   r-   r.   r/   r0   r1   r2   sympy.testing.pytestr3   r4   r5   r6    sympy.stats.symbolic_probabilityr7   (sympy.functions.combinatorial.factorialsr8   r9   rC   rR   rU   r]   rm   rq   rt   ry   r}   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   rD   rB   <module>r      s    ) 4 4 " $ 9 6 5 9 : 2 7 7 % , - ( 6 " &/ / / /0 0 0 0 B A 8 E
3K@!64 T T*29 9 9.$X9(. )@=6%2	#0rD   